Teste da 1ª e 2ª derivada

Teste da 1ª derivada (monotonia e extremos)

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e diferenciável no intervalo ]a,b[.

• Se f ′(x) > 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é estritamente crescente em ]a,b[;
• Se f ′(x) < 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é estritamente decrescente em ]a,b[;
• Se f ′(x) = 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é constante em ]a,b[.

 Se f(x) é uma função contínua e diferenciável num determinado intervalo então a função só passa de decrescente a crescente ou vice-versa se, num certo ponto x0 desse intervalo, o declive da recta tangente é zero. Nesses pontos a função tem um valor mínimo ou máximo, respectivamente. A esses pontos chamam-se extremos relativos da função.

 x0∈Df diz-se ponto crítico (ponto estacionário) de f(x) se f ′(x0) = 0 ou f ′(x0) não existe.

Os pontos críticos são possíveis extremos relativos de f(x) .

• Uma função f tem um máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x) para todo o x pertencente ao domínio de f.
• Uma função f tem um mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo o x pertencente ao domínio de f.
• Uma função f tem um máximo relativo em c se  f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
• Uma função f tem um mínimo relativo em c se  f(c) ≤ f(x) quando x estiver próximo de c.

 

Para calcular os máximos e mínimos de uma função e estudar a sua monotonia, é necessário seguir um conjunto de passos:

1- Calcular a primeira derivada da função;

2- Calcular os zeros da primeira derivada da função;

3- Construir um quadro de sinais.

Note que a e b são minimizantes e maximizantes (respectivamente). Enquanto que f(a) e f(b) são mínimo e máximo.

Teste da 2ª derivada (concavidade e pontos de inflexão)

• Através da segunda derivada estuda-se a concavidade de uma função f. Se a derivada f" for positiva num determinado intervalo então f tem a concavidade voltada para cima. Se f" for negativa então f tem a concavidade para baixo e se f" for nula então f não tem concavidade (ponto de inflexão).
• Sempre que acontece uma mudança do sinal da segunda derivada, de positivo para negativo ou de negativo para positivo, surgem os pontos de inflexão. Estes pontos indicam a mudança de concavidade de uma função.

Nota

Seja uma função contínua f e um ponto c em seu domínio tal que f´(c)= 0 (c é um ponto crítico de f) :

a) se f´altera o seu sinal de negativo para positivo em c, então f(c) é um mínimo local ;

b) se f´altera o seu sinal de positivo para negativo em c, então f(c) é um máximo local.

Seja uma função contínua f e um ponto c em seu domínio tal que f´(c)= 0 (c é um ponto crítico de f) :

a) se f´´(c) >0, então f(c) é um mínimo local;

b) se f´´(c)<0, então f(c) é um máximo local.