Curiosidades

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Encontrei este site interessantíssimo que penso que iram gostar e desfrutar de várias curiosidades ;)

Problema de Cauchy

O problema de Cauchy é um problema clássico dentro da teoria das equações diferenciais ordinárias. 

Dada uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial fixada, o problema de Cauchy consiste em encontrar uma função y=φ(x), que satisfaça a EDO dada e cumpra uma condição inicial.

Exemplo

• d(lny)/dx = xy
• y(1)=1

1- Derivando lny

1/y.dy/dx = xy

2- Separar as variáveis e integrar de ambos os lados

∫ 1/y² dy = ∫ x dx 

∫ y^-2 dy = ∫ x dx

3- Pela regra da potência, obtemos

y^-1/-1 = x²/2 + C 

4- Substituindo a condição inicial na solução geral

1^-1/-1 = 1²/2 + C (=)

(=) -1 = 1/2 + C

(=) C = -3/2

5- Portanto a solução do Problema de Cauchy

y^-1/-1 = x²/2 - 3/2

-1/y = (x²-3)/2

y = - 2/(x²-3)

Equações Diferenciais

Este vídeo apresenta uma breve introdução às equações diferenciais. Definição, classificação e solução.

Campo de direcções

Geometricamente, o conjunto de solução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem define um conjunto de curvas com traço no plano x - y.

Essas curvas designam-se por curvas integrais da equação diferencial. Cada uma das curvas integrais é solução de um determinado problema do valor inicial.

Para cada ponto (x; y) a equação diferencial define y', isto é, para cada ponto (x; y) conhecemos o valor do declive da recta tangente ao traço da curva integral que passa nesse ponto. Dizemos que uma equação diferencial y' = f(x; y) gera um campo de direcções no plano (x; y). Se em cada ponto (x; y) representarmos a recta com declive f(x; y), obtemos uma representação do campo de direcções associado à equação diferencial. As soluções da equação diferencial são curvas, cujas tangentes em cada ponto são definidas por esses declives.

Valor médio de uma função

Para calcular o valor médio de uma função num intervalo [a,b], recorre-se à seguinte expressão:

Exercício

Calcular o valor médio da função f(x) = x no intervalo [0,2]


Resolução

 

Integrações por fracções parciais

Suponhamos uma função do tipo

sendo o grau do polinómio p(x) menor do que k (que representa o grau do polinómio do denominador). É possível decompor f como uma soma de fracções (chamadas de fracções parciais), de modo a obtermos:

sendo A1, A2, ... Ak constantes.

Exercício

Resolução

 

Integral Indefinido

Neste vídeo, o autor apresenta a definição de Integral indefinido de uma função e as suas propriedades. De seguida, é apresentada uma tabela básica de integrais indefinidos. Duas técnicas de integração são apresentadas: integração por substituição e integração por partes.

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

Se f é contínua em [a,b], então a função F(x) definida por

é contínua em [a,b], diferenciável em [a,b] e F'(x)=f(x).

Exemplo