Integral Definido

• O integral definido é um balanço de área
• O conceito de integral definido está particularmente associado ao cálculo de áreas. Portanto, pode-se concluir que ao calcular um integral definido vamos obter um número.
• O integral tem de estar definido num intervalo

O integral tem, portanto, de estar definido num intervalo [a,b] e pode ser representado por:

Propriedades

Integral Definido

• O integral definido é um balanço de área
• O conceito de integral definido está particularmente associado ao cálculo de áreas. Portanto, pode-se concluir que ao calcular um integral definido vamos obter um número.
• O integral tem de estar definido num intervalo

O integral tem, portanto, de estar definido num intervalo [a,b] e pode ser representado por:

Propriedades

Integral/Antiderivada/Primitiva

Integrar é o contrário de derivar.

Em cada caso, o problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada uma primitiva de f.

Definição:  Uma função F é chamada uma primitiva de f sobre um intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x em I

Teorema:   Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é:

F(x) + C

onde C é uma constante arbitrária.

Exemplo

Encontre uma antiderivada de f(x) = x². 

Lembrando a regra da potência, se F(x) = 1/3  x³ , então F’(x) = x² = f(x). Mas a função G(x) = 1/3  x³ +100  também satisfaz G’(x) = x² = f(x). Conseqüentemente, ambas F e G são antiderivadas de f. Na verdade, qualquer função da forma H(x) = 1/3  x³ + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada de f.

Tabela básica das antiderivadas

Exercícios - Limites e derivadas

4.1 Com base no gráfico abaixo, para quais dos valores de x existe limite? x = −2, 0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11.

R: Existe limite para x= -2, 0, 4, 8 e 10

4.2 Tendo em conta os valores de x da alínea anterior, para quais estão reunidas as três condições para que a função seja contínua nesse ponto?

R: A função é contínua para x=0 e x=4 

5. Encontre a taxa média de variação e a derivada da função y = ax^2 + b.

R: 

y= ax^2 + b

(x,y)  ; (x+∆x , y+∆y) 

y+∆y = a(x + ∆x)^2 + b 

y+∆y = a(x^2 + 2x∆x + ∆x^2 ) + b

y+∆y = ax^2 + 2ax∆x + a(∆x)^2 + b

y+∆y = y + 2ax∆x + a(∆x)^2 

∆y/∆x = ((2ax + a∆x)∆x)/∆x = 2ax + a∆x

 

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor consiste numa expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial.

O polinómio de Taylor de grau n é dado por, numa vizinhança de x=a,

Nota

• A principal propriedade deste polinómio é que ele passa pelo ponto (a; f(a)) e possui as mesmas derivadas até ordem n que a função f.
• O polinómio de Taylor de f desenvolvido numa vizinhança de x=a aproxima a função nesta vizinhança.

Neste vídeo podem assistir a uma primeira abordagem aos Polinómios de Taylor e de MacLaurin. Nele, o autor explica em inglês o conceito e distingue o caso de MacLaurin do de Taylor. São apresentados dois exemplos. Embora esteja em inglês, parece-me ser um texto de fácil compreensão.

Teorema de Rolle

- Seja f uma função diferenciável em ]a;b[ e contínua em [a;b].

- Se f(a)=f(b), então existe, pelo menos, um c tal que f'(c)=0

Teorema do valor médio

Na Matemática, o Teorema do Valor Médio, ou denominado também de Teorema de Lagrange, afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que : 

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.