E-Portefólio Vasco Martins: Funções

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domingo, 12 de fevereiro de 2012

Exercícios - Funções

Suponhamos que todas as dimensões lineares de um animal aumentam 12%. Então o animal terá a mesma forma. Como variam a sua àrea superficial e o seu volume? Dê a percentagem de aumento arredondada à unidade.
A lei de Gutenberg-Ritcher é uma relação empírica entre a magnitude M e o número total N de tremores de terra numa determinada região durante um certo período. Esta lei pode ser escrita na forma

log10 N = a − bM,

onde a e b são constantes. O valor de b é o de maior importância e tipicamente situa-se entre 0.5 ∼ 2,

com um valor médio b ≈ 1.
Se houver N1 termores de terra de magnitude M1 e N2 termores de terra de magnitude M2, qual é o

valor do rácio N1/N2 se M2 − M1 = 3?

Resolução:

V~l^3 ; S~l^2

l' = l + 0,12l = 1,12l

V'~l'^3 = (1,12l)^3 = 1,404928 l^3

V' = 1,404928 V = V + ∆V

% ∆V/V x 100 = (0,404928V/V) x100 = 40%

S'~l'^2 = (1,12l)^2 = 1,2544 l^2
S' = 1,2544 S = S + ∆S

% ∆S/S x100 = (0,2544S/S) x100 = 25%

2. logN = a - bM (=) -bM = logN - a (=) M = -logN + a

M2 - M1 = 3 (=)

(=) -logN2 + a - (-logN1 + a) = 3

(=) -logN2 + a +logN1 - a = 3

(=) log(N1/N2) = 3

(=) N1/N2 = 10^3

Paridade de uma função

Uma função pode ser par ou ímpar, ou sem paridade (se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores). A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma.

Se uma função f satisfizer f(x) = f(-x) para todo o x no seu domínio, a função diz-se par.

O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y.

Exemplo :

f(x)=x² é uma função par, como pode ver-se a seguir:

f(-x) = (-x)² = x² = f(x)

Se f satisfizer f(-x) = -f(x) para todo x em seu domínio, pode afirmar-se que a função f é uma função ímpar.
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Exemplo :

f(x) = x³ é uma função ímpar:

(-x)=(-x)³= -x³ =-f(x)

Novas funções a partir de antigas

Deslocamentos verticais e horizontais:

y=f(x)+c - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para cima.

y=f(x)-c - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para baixo.

y=f(x-c) - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para a direita.

y=f(x+c) - Deslocar o gráfico de f(x) c unidades para a esquerda.

Reflexões e esticamentos horizontais e verticais

y=cf(x) - esticar verticalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=f(x)/c - comprimir verticalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=f(cx) - comprimir horizontalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=f(x/c) - esticar horizontalmente o gráfico de f(x) por um fator de c.

y=-f(x) - refletir em torno do eixo x o gráfico de f(x).

y=f(-x) - refletir em torno do eixo y o gráfico de f(x).

Funções implícitas e explicitas

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo:

f(x) = x^2

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo:

g(x,y) = xy

recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy. De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplos acima) ou defunção implícita, como em:

xf(x) = 1

que implicitamente especifica a função:

f(x) = 1/x

Funções Compostas

São as funções em que o conjunto imagem de uma função

f (x)

serve de domínio para uma outra função

g (x)

, que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de

f (x)

, nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Por exemplo, dadas as funções:

f (x) = 2 x + 3

g (x) = x - 1

uma função composta pode ser:

g (f (x)) = 2 x + 2

Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer

f (g (x))

f (f (x))

, etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

Função Módulo de um nº real

O conceito de módulo de um número real está associado à idéia de distância de um ponto da reta à origem. Como existe uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais, pensar na distância de um ponto à origem ou pensar no módulo de um número é exatamente a mesma coisa.

Definimos então uma função que, a cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem. Temos assim:

O gráfico dessa função tem o seguinte aspecto:

pois, para os valores positivos ou zero da variável independente x, o valor da variável dependente y é o mesmo que x, pois y=x; para valores negativos de x o valor de y é

, pois y=-x. Dessa forma, o gráfico é constituído de duas semi-retas de mesma origem.

Função Inversa

Para a construção analítica da inversa de uma função devem seguir-se os seguintes passos:

- Igualar a função f a y;

- Isolar x;

- Trocar x por y.

O domínio da directa é o contradomínio da inversa.
Tem de ser bijetora.
Tem de se restringir o domínio da função directa (por vezes).
f^-1(f^-1(x)) = f(x)
f^-1(f(x)) = x
f(f^-1(x)) = x

A função inversa $g$ de uma função real de variável real $f$ obtém-se de $f$ por uma simetria em relação à recta $y = x$ .

Tipo de Função

Tipo de função	Característica da função	Conjunto imagem	Exemplo	Admite função inversa? É inversível?
Função injetora ou injetiva	Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando $x$ ≠ $y$ no domínio e $f (x)$ ≠ $f (y)$ no contradomínio. A cardinalidade do contradomínio é sempre maior ou igual à do domínio.	O número de elementos no contradomínio pode ser igual ou maior que na imagem da função.	A função $f :$ $N$ $\rightarrow$ $N$ dada por $f (x) = 2 x$ , é injetiva porque, sempre que toma-se dois valores diferentes de $x$ : $a$ ≠ $b$ , obtém-se valores diferentes para $f (x)$ : $f (a)$ ≠ $f (b)$ .	Não sempre, mas sempre admite inversa à esquerda.
Função sobrejetora ou sobrejetiva	Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio	A função $f :$ $R$ $\rightarrow$ $R$ dada por $f (x) = 6 x$ , não é sobrejetiva, pois o número -1 é elemento do contradomínio $R$ e não é imagem de qualquer elemento do domínio.	Não sempre, mas sempre admite inversa à direita.
Função bijetora ou bijetiva	São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um para um e exclusiva.	O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio	A função $f :$ $N$ $\rightarrow$ $N$ dada por $f (x) = x$ , é bijetiva porque é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Exemplo:função identidade	Sim, sempre; imagem igual ao contradomínio vira domínio e vice-versa.