Curiosidades

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Encontrei este site interessantíssimo que penso que iram gostar e desfrutar de várias curiosidades ;)

Problema de Cauchy

O problema de Cauchy é um problema clássico dentro da teoria das equações diferenciais ordinárias. 

Dada uma equação diferencial de primeira ordem e uma condição inicial fixada, o problema de Cauchy consiste em encontrar uma função y=φ(x), que satisfaça a EDO dada e cumpra uma condição inicial.

Exemplo

• d(lny)/dx = xy
• y(1)=1

1- Derivando lny

1/y.dy/dx = xy

2- Separar as variáveis e integrar de ambos os lados

∫ 1/y² dy = ∫ x dx 

∫ y^-2 dy = ∫ x dx

3- Pela regra da potência, obtemos

y^-1/-1 = x²/2 + C 

4- Substituindo a condição inicial na solução geral

1^-1/-1 = 1²/2 + C (=)

(=) -1 = 1/2 + C

(=) C = -3/2

5- Portanto a solução do Problema de Cauchy

y^-1/-1 = x²/2 - 3/2

-1/y = (x²-3)/2

y = - 2/(x²-3)

Equações Diferenciais

Este vídeo apresenta uma breve introdução às equações diferenciais. Definição, classificação e solução.

Campo de direcções

Geometricamente, o conjunto de solução de uma equação diferencial ordinária de primeira ordem define um conjunto de curvas com traço no plano x - y.

Essas curvas designam-se por curvas integrais da equação diferencial. Cada uma das curvas integrais é solução de um determinado problema do valor inicial.

Para cada ponto (x; y) a equação diferencial define y', isto é, para cada ponto (x; y) conhecemos o valor do declive da recta tangente ao traço da curva integral que passa nesse ponto. Dizemos que uma equação diferencial y' = f(x; y) gera um campo de direcções no plano (x; y). Se em cada ponto (x; y) representarmos a recta com declive f(x; y), obtemos uma representação do campo de direcções associado à equação diferencial. As soluções da equação diferencial são curvas, cujas tangentes em cada ponto são definidas por esses declives.

Valor médio de uma função

Para calcular o valor médio de uma função num intervalo [a,b], recorre-se à seguinte expressão:

Exercício

Calcular o valor médio da função f(x) = x no intervalo [0,2]


Resolução

 

Integrações por fracções parciais

Suponhamos uma função do tipo

sendo o grau do polinómio p(x) menor do que k (que representa o grau do polinómio do denominador). É possível decompor f como uma soma de fracções (chamadas de fracções parciais), de modo a obtermos:

sendo A1, A2, ... Ak constantes.

Exercício

Resolução

 

Integral Indefinido

Neste vídeo, o autor apresenta a definição de Integral indefinido de uma função e as suas propriedades. De seguida, é apresentada uma tabela básica de integrais indefinidos. Duas técnicas de integração são apresentadas: integração por substituição e integração por partes.

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

Se f é contínua em [a,b], então a função F(x) definida por

é contínua em [a,b], diferenciável em [a,b] e F'(x)=f(x).

Exemplo

Integral Definido

• O integral definido é um balanço de área
• O conceito de integral definido está particularmente associado ao cálculo de áreas. Portanto, pode-se concluir que ao calcular um integral definido vamos obter um número.
• O integral tem de estar definido num intervalo

O integral tem, portanto, de estar definido num intervalo [a,b] e pode ser representado por:

Propriedades

Integral Definido

• O integral definido é um balanço de área
• O conceito de integral definido está particularmente associado ao cálculo de áreas. Portanto, pode-se concluir que ao calcular um integral definido vamos obter um número.
• O integral tem de estar definido num intervalo

O integral tem, portanto, de estar definido num intervalo [a,b] e pode ser representado por:

Propriedades

Integral/Antiderivada/Primitiva

Integrar é o contrário de derivar.

Em cada caso, o problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma função conhecida f. Se a função F existir, ela é chamada uma primitiva de f.

Definição:  Uma função F é chamada uma primitiva de f sobre um intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x em I

Teorema:   Se F for uma antiderivada de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é:

F(x) + C

onde C é uma constante arbitrária.

Exemplo

Encontre uma antiderivada de f(x) = x². 

Lembrando a regra da potência, se F(x) = 1/3  x³ , então F’(x) = x² = f(x). Mas a função G(x) = 1/3  x³ +100  também satisfaz G’(x) = x² = f(x). Conseqüentemente, ambas F e G são antiderivadas de f. Na verdade, qualquer função da forma H(x) = 1/3  x³ + C, onde C é uma constante, é uma antiderivada de f.

Tabela básica das antiderivadas

Exercícios - Limites e derivadas

4.1 Com base no gráfico abaixo, para quais dos valores de x existe limite? x = −2, 0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11.

R: Existe limite para x= -2, 0, 4, 8 e 10

4.2 Tendo em conta os valores de x da alínea anterior, para quais estão reunidas as três condições para que a função seja contínua nesse ponto?

R: A função é contínua para x=0 e x=4 

5. Encontre a taxa média de variação e a derivada da função y = ax^2 + b.

R: 

y= ax^2 + b

(x,y)  ; (x+∆x , y+∆y) 

y+∆y = a(x + ∆x)^2 + b 

y+∆y = a(x^2 + 2x∆x + ∆x^2 ) + b

y+∆y = ax^2 + 2ax∆x + a(∆x)^2 + b

y+∆y = y + 2ax∆x + a(∆x)^2 

∆y/∆x = ((2ax + a∆x)∆x)/∆x = 2ax + a∆x

 

Polinómio de Taylor

O polinómio de Taylor consiste numa expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial.

O polinómio de Taylor de grau n é dado por, numa vizinhança de x=a,

Nota

• A principal propriedade deste polinómio é que ele passa pelo ponto (a; f(a)) e possui as mesmas derivadas até ordem n que a função f.
• O polinómio de Taylor de f desenvolvido numa vizinhança de x=a aproxima a função nesta vizinhança.

Neste vídeo podem assistir a uma primeira abordagem aos Polinómios de Taylor e de MacLaurin. Nele, o autor explica em inglês o conceito e distingue o caso de MacLaurin do de Taylor. São apresentados dois exemplos. Embora esteja em inglês, parece-me ser um texto de fácil compreensão.

Teorema de Rolle

- Seja f uma função diferenciável em ]a;b[ e contínua em [a;b].

- Se f(a)=f(b), então existe, pelo menos, um c tal que f'(c)=0

Teorema do valor médio

Na Matemática, o Teorema do Valor Médio, ou denominado também de Teorema de Lagrange, afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que : 

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.

Regra de Cauchy ou Regra de L'Hôpital

Esta regra funciona como uma técnica para calcular limites com indeterminações do tipo 0/0 ou infinito sobre infinito.

Assim, sejam f e g diferenciáveis e g'(x) ≠ x próximo de c (excepto possivelmente em c). 

Suponha que:

ou

Logo,

Exemplo

1. Calcule o limite 

Resolução

Aplicando a regra de Cauchy:

Regra da Cadeia

Teste da 1ª e 2ª derivada

Teste da 1ª derivada (monotonia e extremos)

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e diferenciável no intervalo ]a,b[.

• Se f ′(x) > 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é estritamente crescente em ]a,b[;
• Se f ′(x) < 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é estritamente decrescente em ]a,b[;
• Se f ′(x) = 0 ∀x∈]a,b[, então f(x) é constante em ]a,b[.

 Se f(x) é uma função contínua e diferenciável num determinado intervalo então a função só passa de decrescente a crescente ou vice-versa se, num certo ponto x0 desse intervalo, o declive da recta tangente é zero. Nesses pontos a função tem um valor mínimo ou máximo, respectivamente. A esses pontos chamam-se extremos relativos da função.

 x0∈Df diz-se ponto crítico (ponto estacionário) de f(x) se f ′(x0) = 0 ou f ′(x0) não existe.

Os pontos críticos são possíveis extremos relativos de f(x) .

• Uma função f tem um máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x) para todo o x pertencente ao domínio de f.
• Uma função f tem um mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo o x pertencente ao domínio de f.
• Uma função f tem um máximo relativo em c se  f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.
• Uma função f tem um mínimo relativo em c se  f(c) ≤ f(x) quando x estiver próximo de c.

 

Para calcular os máximos e mínimos de uma função e estudar a sua monotonia, é necessário seguir um conjunto de passos:

1- Calcular a primeira derivada da função;

2- Calcular os zeros da primeira derivada da função;

3- Construir um quadro de sinais.

Note que a e b são minimizantes e maximizantes (respectivamente). Enquanto que f(a) e f(b) são mínimo e máximo.

Teste da 2ª derivada (concavidade e pontos de inflexão)

• Através da segunda derivada estuda-se a concavidade de uma função f. Se a derivada f" for positiva num determinado intervalo então f tem a concavidade voltada para cima. Se f" for negativa então f tem a concavidade para baixo e se f" for nula então f não tem concavidade (ponto de inflexão).
• Sempre que acontece uma mudança do sinal da segunda derivada, de positivo para negativo ou de negativo para positivo, surgem os pontos de inflexão. Estes pontos indicam a mudança de concavidade de uma função.

Nota

Seja uma função contínua f e um ponto c em seu domínio tal que f´(c)= 0 (c é um ponto crítico de f) :

a) se f´altera o seu sinal de negativo para positivo em c, então f(c) é um mínimo local ;

b) se f´altera o seu sinal de positivo para negativo em c, então f(c) é um máximo local.

Seja uma função contínua f e um ponto c em seu domínio tal que f´(c)= 0 (c é um ponto crítico de f) :

a) se f´´(c) >0, então f(c) é um mínimo local;

b) se f´´(c)<0, então f(c) é um máximo local.

Derivadas

Chama-se função derivada de uma função f à função que a cada valor de x faz corresponder a derivada. Representa-se por f' ou df/dx e o seu domínio é igual ao conjunto de pontos com derivada finita.

• A derivada num ponto é igual ao declive da recta tangente à função nesse ponto.
• A derivada é também chamada de taxa de variação instantânea ou velocidade.

Derivadas laterais Cálculo da derivada num ponto por definição  Observação Para que a derivada num ponto exista é necessário que as suas derivadas laterais sejam iguais: Formulário da diferenciação Notas Uma função f diz-se derivável num ponto se tem derivada finita nesse ponto; Uma função com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Deste modo se uma função for descontínua num ponto então nunca terá derivada nesse mesmo ponto; Sempre que o gráfico de uma função f tiver um "pico" num ponto não tem derivada nesse mesmo ponto, uma vez que existem várias rectas tangentes; Uma função é diferenciável se tiver derivada em todos os pontos do seu domínio. Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c; Uma função pode ser contínua num ponto e não ter derivada nesse ponto. A continuidade não garante a derivabilidade. f'(x)=dy/dx

Aproximação Linear

A Aproximação Linear diz respeito ao cálculo do valor de f(x) quando x se aproxima de um ponto c pertencente ao seu domínio.

 Se o valor de x for muito próximo de c, então é possível utilizar a reta tangente no ponto (c;f(c)) para calcular uma aproximação de f(x) nas proximidades de c.

 A expressão da reta tangente em (c; f(c)) é: 

 y_c = f(c) + f'(c)(x-c)

Então, para valores de x muito próximos de c, f(x) será aproximadamente f(x) = f(c) + f'(c)(x-c).

Teorema do Confronto ou Sandwich

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I excepto possivelmente em x=a, a ∈ I.
Se para todo o x ∈ I \ {a} tivermos g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) e  , então .

Exemplo

Sendo f(x) = xsen(10/x) , g(x) = -|x| e h(x) = |x| , calcule o seguinte limite:

Resolução

Logo, o limite de f(x) quando x tende para zero é zero

Teorema de Bolzano ou do valor intermédio

Seja  f  uma função real de variável real contínua no intervalo limitado e fechado [a,b] .

Se k é um ponto do intervalo de extremos f(a) e f(b), então existe pelo menos um número real c pertencente ao intervalo aberto (a,b), tal que f(c) =k, ou seja, 

∀ k ∈ (f(a),f(b)), ∃ c ∈ (a,b) : f(c)= k.

Graficamente,se traçarmos uma recta horizontal y = k, em que f(a)<k<f(b) , esta intersectará o gráfico de f em pelo menos um ponto, neste caso de coordenadas (c, k).

Corolário

Se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto (a,b) tal que f(c)= 0, ou de outra forma, se f é uma função contínua num intervalo fechado [a,b] e f(a)*f(b)<0, então existe pelo menos um zero de f num intervalo aberto (a,b).

Definição de Limite

Definimos  como sendo o número L (caso exista) tal que para todo o ε>0 (tão pequeno quanto queiramos) existe um δ > 0 (suficientemente pequeno) tal que, se (x-c)<δ e x ≠ c, então |f(x) - L|<ε.

Limite no infinito

Definimos  como sendo o número L (caso exista) tal que para todo ε>0 (tão pequeno quanto queiramos) existe N (suficientemente grande) tal que se x > N então |f(x)-L|<ε.


Nota
Se os limites laterais existirem então o limite na função nesse ponto existe apenas se os limites laterais forem iguais, isto é: 

Limites Notáveis

Continuidade de uma função

Para uma função, f(x), ser contínua no ponto x=a, tem de se obedecer a determinados critérios:

1.  a tem de pertencer ao domínio de f(x);
2. o limite de f(x) quando x tende para a tem de existir: 
3. o limite de f(x) quando x tende para a tem de ser igual a f(a):

Continuidade em intervalos

• A função diz-se contínua no intervalo ]a, b[ se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
• A função f diz-se contínua no intervalo [a, b[ se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a, b[ e contínua à direita do ponto a.
• A função f diz-se contínua no intervalo ]a, b] se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a, b[ e contínua à esquerda do ponto b.
• A função f diz-se contínua no intervalo [a, b] se for contínua em todos os pontos do intervalo ]a, b[ e contínua à direita do ponto a e à esquerda de b.

Exercício:

Verifique se a função é continua :

Resolução